[선형대수] 행렬 계수란(Rank)

행렬의 계수 (Rank)

행렬의 계수 정의

• 선형 독립 집합을 구성하는 최대 열 또는 행의 수
• 열공간의 차원의 수 (= 행공간의 차원의 수)
• 행렬에서 0이 아닌 특잇값의 수

정방행렬이 아니더라도, 열공간에서 정의된 계수와 행공간에서 정의된 계수는 같다.

즉, 행렬의 열공간과 행공간은 다르지만 차원의 수는 동일하다.

행렬 계수의 특징

• 계수는 음이 아닌 정수이다.
• 모든 행렬은 단 하나의 고유한 계수를 가진다.
• 최대 가능 계수를 갖는 행렬을 '최대계수' (Full Rank)라고 한다. 계수가 min{M, N} (각각 행과 열의 개수) 보다 작을 때, 이를 '축소계수', '계수부족', '특이'등으로 지칭한다.
• 행렬에 스칼라 곱은 계수에 영향을 미치지 않는다.

덧셈 및 곱셈 행렬의 계수

• 두 행렬 A, B의 계수를 알때 A+B, AB의 계수를 알 수 없다. 하지만 최대 가능 계수는 알 수 있다.
• $$ rank(A+B)\leq rank(A) + rank(B) $$
• $$  rank(AB)\leq min\begin{Bmatrix}rank(A), \, rank(B) \end{Bmatrix}  $$

행렬을 이동했을 때의 계수

• 행렬 A에 스칼라 x 단위 행렬을 더해주는 것을 행렬 이동이라고 한다.
• 행렬을 이동하면 최대계수 Full Rank가 된다.
• 행렬을 이동하면 Full Rank가 되는데, 원래 행렬과 이동 행렬 간 피어슨 상관계수를 계산해보면 거의 1에 가깝다. 이렇게 행렬의 정보는 거의 변하지 않았지만, Full Rank가 되는 것은 중요한 의미를 가진다. 

계수응용

1. 벡터가 행렬의 열공간에 존재하는지 확인하는 법

• 벡터가 행렬의 열공간에 존재한다면, 행렬의 선형 가중 평균으로 벡터를 표현할 수 있다는 것이다.
• 이는 벡터를 행렬에 포함시킨 후 행렬 계수(Rank)를 계산함으로서 판단할 수 있다. (벡터를 행렬에 포함시키는 것을 확장이라고 한다.)
• 기존 행렬의 계수가 확장 행렬의 계수와 동일할 경우, 해당 벡터는 행렬의 열공간에 있는 것이다.
• 기존 행렬의 계수보다 확장 행렬의 계수가 클 경우, 해당 벡터는 행렬의 열공간에 없다.
• 이는 선형 최소제곱 모델링 추론의 일부 과정으로서 중요한 부분이다.