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목록개념공부 (89)
Swimmer
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고윳값 분해는 주성분 분석에 사용되는, 데이터 과학에 선형 대수가 큰 공헌을 한 개념이다. 고윳값 분해를 통해 고윳값(Eigen value)과 고유벡터(Eigen vector)를 계산할 수 있다. 고윳값 분해는 기하학, 통계, 제어 등 각 분야에 따라 다양한 해석 관점이 존재한다. 본 글에서는 기하학적 관점에서의 고윳값 분해를 확인한다. 고윳값과 고유벡터 먼저, 행렬과 벡터의 곱을 다음 관점에서 볼 수 있다. 행렬은 벡터의 크기와 방향을 변화시키는 특징을 가지고 있는 것이다. (아래 왼쪽 그림) 그 중에서도 특정 행렬과 벡터는 곱했을 때, 방향은 변하지 않고 크기만 변하는 경우가 있다. 이때 벡터를 행렬의 고유벡터라 하며, 변하는 크기 값을 고윳값이라 한다. (아래 우측의 그래프에서, 행렬 A는 벡터 v..
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본 글에서는 일반선형모델, 최소제곱법을 설명한다. 일반선형모델은 독립변수가 스칼라 곱셈과 덧셈으로만 이루어진 모델이다. 최소제곱법은 일반선형모델의 계수 값을 계산하기 위한 방법이다. 그리고 마지막으로 앞서 공부한 QR분해를 사용해 일반선형모델을 푸는 좀 더 수치 안정적인 방법을 소개한다. 일반 선형 모델 (General Linear Model) 일반 선형 모델은 예측변수(독립변수)를 관측값(종속변수)와 스칼라 곱셈 및 덧셈으로만 연관시킨 방정식의 집합이다. 일반 선형모델을 구축하는 과정은 아래와 같다. 독립변수와 종속변수를 연관시킨 방정식을 정의한다. (ex/ 1차 다항식, n차 다항식) 관측된 데이터를 방정식에 대입한다. 관측된 데이터 수만큼의 방정식을 행렬 방정식으로 변환한다. 행렬 방정식을 푼다. ..
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행 축소와 LU분해는 이전 글인 QR분해와 함께 행렬을 두개의 행렬로 분해하는 방법이다. 이들은 선형대수에서 최소제곱모델, 연립방정식, 역행렬 계산 등에서 활용되며 상대적으로 수치 안정적인 방법을 제공한다. QR분해는 다음 글을 참고하자.(https://iridescentboy.tistory.com/163) 본 페이지에서는 LU 분해와 관련 개념인 행 축소를 다룬다. 행 축소를 다루기 위해 먼저, 행렬연립방정식을 보자. 행렬방정식 2개 이상의 방정식은 행렬을 사용해 표현할 수 있다. 예를 들어, 아래 왼쪽의 2개 방정식은 x, y 변수로 구성되어 있다. 이를 행렬 방정식으로 변경하면 오른쪽과 같다. 행렬방정식을 먼저 제시한 이유는, 행 축소와 LU 분해가 행렬 방정식을 수치 안정적으로 푸는데 도움이 되기..
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선형대수에는 여러가지 분해 종류가 있는데, 대표적으로 직교벡터분해, QR분해, LU분해, 고윳값분해, 특잇값분해가 있다. 분해란 벡터나 행렬 하나를 2개 이상으로 분리하는 것을 말한다. 직교벡터분해의 경우 아래 페이지에 정리하였으니 참고하자. (https://iridescentboy.tistory.com/160) 본 페이지에서는 직교행렬과 QR분해를 다룬다. 중심이 되는 것은 QR분해이고, 이는 역행렬, 최소제곱모델적합, 고윳값 분해등에 사용되는 중요한 개념이다. 직교행렬 (Orthogonal Matrix) 직교행렬은 다음 2가지 특징을 가진 행렬이다. 행렬의 모든 열은 서로 직교한다. = 내적 시 0 이다. 각 열의 Norm은 1이다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다. 이를 행렬 관점에서 보면, 어..